> 迭代递归时候定义的那个对象类 在数学语境里，**「分形」（fractal）**指的是一类**具有自相似结构、在任意尺度下都呈现复杂细节**的几何对象或集合。由于“分形”在早期一些教材、译本中也曾被误写成“分型”，所以你看到的“分型”基本可以确定就是 “分形” 的别写。 --- ## 1 ▪ 核心特征 |关键词|含义|直观举例| |---|---|---| |**自相似**|局部形状与整体形状在形态上相似（严格或统计意义）|把雪花曲线放大若干倍，依旧能看到“尖角-三角”重复；再放大，结构依旧类似| |**非整数维数**|使用豪斯多夫维 / 分形维数衡量时，维度常落在 1-2 或 2-3 之间|康托尔集维数 ≈ 0.6309；曼德布罗集边界维数 ≈ 2| |**无穷细节**|不论放大多少倍，总能看到新的结构|曼德布罗集缩放视频里永无止境的花纹| |**标度不变性**|缩放比例不会改变统计性质|油气储层、城市道路网络的分形分析| --- ## 2 ▪ 常见几何模型 |名称|构造方式（迭代规则）|分形维| |---|---|---| |康托尔集|线段去掉中间 1/3，再对余下两段重复|log 2 / log 3| |科赫雪花曲线|把线段三等分，中段外挤出等边三角形|log 4 / log 3 ≈ 1.2619| |谢尔宾斯基三角|在等边三角形中心挖掉倒三角，并递归|log 3 / log 2 ≈ 1.5850| |曼德布罗集|复平面迭代 zn+1=zn2+cz_{n+1}=z_n^{2}+c 的逃逸集合|边界维 ≈ 2| |Julia 集|与曼德布罗集类似，只是固定 cc|取决于 cc| --- ## 3 ▪ 数学框架 1. **迭代映射 / IFS（Iterated Function System）** - 用有限个压缩映射反复作用于集合，极限集即为分形。 - 霍金斯-迈威森定理提供了分形维数与映射收缩率的对应。 2. **豪斯多夫维数 DHD_H** - 度量“覆盖集合的最小尺寸与尺度 ε 的幂律关系”。 - 若覆盖数 N(ε)∝ε−DN(\varepsilon)\propto\varepsilon^{-D}，则 DD 为维度。 3. **分形布朗运动、随机分形** - 在统计意义上自相似，例如 1/f 噪声、地形高度图。 - Hurst 指数衡量长程依赖。 --- ## 4 ▪ 工程与自然中的应用 |领域|场景|作用| |---|---|---| |计算机图形|程序化地形、云雾、纹理|用少量参数生成复杂自然景| |天线设计|毫米波、宽带天线|分形几何提高电长度、宽频带| |生物医学|血管分形、肺泡分布|用分形维预测病理变化| |金融市场|Mandelbrot-式价格模型|捕捉长尾波动、粗糙度| |城市科学|道路/建筑分形指标|评价城市“有机”与否| --- ## 5 ▪ 与传统几何的对比 |传统欧氏几何|分形几何| |---|---| |维度为整数（1D 线、2D 面、3D 体）|维度可为非整数| |形状规则、可被有限方程描述|形状高度不规则，需迭代或统计描述| |局部-整体差异明显|局部与整体形态相似| --- ## 6 ▪ 入门学习路线 1. **直观演示** - 玩 Fractal Explorer / GeoGebra 分形插件；看科赫曲线动画理解迭代。 2. **阅读材料** - B. Mandelbrot：《The Fractal Geometry of Nature》 - M. Frame & B. Birkhoff：《Fractals, Graphics, & Mathematics Education》 - 在线课程：Yale OpenCourse “Fractals and Chaos”。 3. **实验作业** - 代码实现 L-System / IFS；计算分形维数；将分形嵌入噪声合成。 --- > **小结**： > > - “分形”源于 Mandelbrot 1975 年提出的 _fractal_，取意“碎片” (Latin _fractus_)。 > > - 其数学本质是**自相似 + 无穷细节 + 非整数维**；与计算机图形、物理、金融等领域结合广泛。 > > - 若你在阅读《数学之美》或学习机器学习，也会碰到 **分形维数** 用来衡量数据流形的内在维度。 >