# Summary [傅里叶变换](傅里叶变换.md)：这道菜里有盐、糖、醋 但不知道是先放盐还是先放糖 而小波分析：时间+频率 # Cues # Notes 我用**音乐**来解释小波分析，这是最直观的例子。 ## 场景：分析一首歌 假设你要分析一首歌，想知道： - 什么时候有鼓声？ - 什么时候有高音？ - 什么时候有低音？ ## 传统方法：傅里叶变换 ### 问题 [[傅里叶变换]]告诉你： - ✓ 这首歌**有**440Hz的音（A音） - ✗ 但不知道**什么时候**出现 就像： ```Java 傅里叶：这道菜里有盐、糖、醋 但不知道是先放盐还是先放糖 ``` ## 小波分析：时间+频率 ### 核心思想 用不同大小的"窗口"看信号： - **大窗口**：看低频（长波） - **小窗口**：看高频（短波） ### 具体例子：分析鼓声 ```Java 原始信号：♫────🥁──♫───🥁─♫── 傅里叶分析： 有鼓声频率 ✓ 什么时候？ 不知道 ✗ 小波分析： 第2秒：有鼓声 ✓ 第5秒：有鼓声 ✓ 精确定位！ ``` ## 形象比喻：显微镜 小波分析就像**可变焦显微镜**： ### 看整体（低频） ```Java 放大倍数：1x 窗口：█████████████ 看到：整首歌的旋律走向 ``` ### 看细节（高频） ```Java 放大倍数：100x 窗口：█ 看到：某一瞬间的鼓点 ``` ## 实际应用例子 ### 1. 图像压缩（JPEG2000） **原理**： ```Java 原图 → 小波分解 ├── 轮廓（低频）：用大窗口，保留 ├── 纹理（中频）：适度压缩 └── 噪声（高频）：用小窗口，丢弃 ``` **效果**： - 文件小10倍 - 人眼几乎看不出差别 ### 2. 心电图分析 ```Java 正常心跳：lub-dub...lub-dub...lub-dub 异常信号：lub-dub...lu❗-dub...lub-dub 小波分析能： - 定位异常发生的精确时间 - 识别异常的类型（高频噪声？） ``` ### 3. 地震检测 ```Java 地震波 = 低频主震 + 高频余震 小波分析： ├── 大窗口：看主震到达时间 ├── 中窗口：看S波、P波 └── 小窗口：看高频前震 ``` ## 数学原理（极简版） ### 傅里叶基函数 ```Java 固定频率，无限长：～～～～～～～ ``` ### 小波基函数 ```Java 局部化，会衰减：～～🌊～～ ↑ 只在这里有值 ``` ## 为什么叫"小波"？ 因为它像水面的涟漪： - 局部出现 - 快速衰减 - 可大可小 ## 优势总结 |特性|傅里叶变换|小波分析| |---|---|---| |频率信息|✓ 精确|✓ 良好| |时间信息|✗ 没有|✓ 精确| |适用信号|平稳信号|非平稳信号| |应用场景|音频频谱|图像/视频压缩| ## 生活类比 **傅里叶变换**像是： - 统计这个月用了多少电 - 但不知道哪天用得多 **小波分析**像是： - 每天、每小时的用电量都知道 - 可以找出用电高峰 这就是小波分析的精髓：**在时间和频率上都有良好的分辨率**，能告诉你"什么时候发生了什么"！