行列式 - 🎯转了码的刘公子

![CleanShot 2025-07-27 at [email protected]|1000](https://imagehosting4picgo.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/imagehosting/fix-dir%2Fmedia%2Fmedia_WhG7hO9e3a%2F2025%2F07%2F27%2F02-56-03-7c7acd07b2aff1bcaa84200a6269647c-CleanShot%202025-07-27%20at%2002.55.51-2x-b1efec.png) 行列式就是行数和列数相等的[[矩阵]] 我用具体例子解释**行列式**。 - [几何意义：面积](#%E5%87%A0%E4%BD%95%E6%84%8F%E4%B9%89%EF%BC%9A%E9%9D%A2%E7%A7%AF) - [具体例子](#%E5%85%B7%E4%BD%93%E4%BE%8B%E5%AD%90) - [3×3矩阵的行列式](#3%C3%973%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F) - [几何意义：体积](#%E5%87%A0%E4%BD%95%E6%84%8F%E4%B9%89%EF%BC%9A%E4%BD%93%E7%A7%AF) - [计算方法](#%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%96%B9%E6%B3%95) - [行列式的意义](#%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F%E7%9A%84%E6%84%8F%E4%B9%89) - [1. 判断可逆性](#1.%20%E5%88%A4%E6%96%AD%E5%8F%AF%E9%80%86%E6%80%A7) - [2. 线性变换的缩放倍数](#2.%20%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%8F%98%E6%8D%A2%E7%9A%84%E7%BC%A9%E6%94%BE%E5%80%8D%E6%95%B0) - [3. 方程组解的情况](#3.%20%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84%E8%A7%A3%E7%9A%84%E6%83%85%E5%86%B5) - [实际例子](#%E5%AE%9E%E9%99%85%E4%BE%8B%E5%AD%90) - [例1：判断三点共线](#%E4%BE%8B1%EF%BC%9A%E5%88%A4%E6%96%AD%E4%B8%89%E7%82%B9%E5%85%B1%E7%BA%BF) - [例2：计算面积/体积](#%E4%BE%8B2%EF%BC%9A%E8%AE%A1%E7%AE%97%E9%9D%A2%E7%A7%AF/%E4%BD%93%E7%A7%AF) - [行列式的性质](#%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F%E7%9A%84%E6%80%A7%E8%B4%A8) - [1. 交换行，变号](#1.%20%E4%BA%A4%E6%8D%A2%E8%A1%8C%EF%BC%8C%E5%8F%98%E5%8F%B7) - [2. 某行乘以k，结果乘以k](#2.%20%E6%9F%90%E8%A1%8C%E4%B9%98%E4%BB%A5k%EF%BC%8C%E7%BB%93%E6%9E%9C%E4%B9%98%E4%BB%A5k) - [3. 行列式乘法规则](#3.%20%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F%E4%B9%98%E6%B3%95%E8%A7%84%E5%88%99) - [特殊行列式](#%E7%89%B9%E6%AE%8A%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F) - [对角矩阵](#%E5%AF%B9%E8%A7%92%E7%9F%A9%E9%98%B5) - [上三角矩阵](#%E4%B8%8A%E4%B8%89%E8%A7%92%E7%9F%A9%E9%98%B5) - [直观理解](#%E7%9B%B4%E8%A7%82%E7%90%86%E8%A7%A3) # 2×2矩阵的行列式 ## 几何意义：面积 ```Java A = [3 1] [1 2] ``` 行列式 = 3×2 - 1×1 = 5 **图形理解**： ```Java (1,2) ↗ /│ / │ / │ ────┴───→ (3,1) ``` 这两个向量张成的平行四边形面积 = 5 ## 具体例子 **例1：行列式 = 0** ```Java B = [2 4] [1 2] det(B) = 2×2 - 4×1 = 0 ``` 两个向量在同一直线上，围不成面积！ **例2：行列式 < 0** ```Java C = [1 0] [0 -1] det(C) = 1×(-1) - 0×0 = -1 ``` 负值表示方向反转（镜像翻转） # 3×3矩阵的行列式 ## 几何意义：体积 ```Java D = [1 0 0] [0 2 0] [0 0 3] ``` 行列式 = 1×2×3 = 6 这是个长方体的体积！ ## 计算方法 ```Java E = [2 1 3] [1 0 2] [1 1 1] ``` 用第一行展开：det(E) = 2×|0 2| - 1×|1 2| + 3×|1 0| |1 1| |1 1| |1 1| = 2×(-2) - 1×(-1) + 3×1 = -4 + 1 + 3 = 0 # 行列式的意义 ## 1. 判断可逆性 - det(A) ≠ 0：矩阵可逆 - det(A) = 0：矩阵不可逆（奇异） ## 2. 线性变换的缩放倍数 ```Java 原始正方形：变换后： ┌──┐ ╱──╲ │ │ → ╱ ╲ └──┘ ╲____╱ 面积=1 面积=det(A) ``` ## 3. 方程组解的情况 ```Java 系数矩阵A： det(A) = 0 → 无解或无穷多解 det(A) ≠ 0 → 唯一解 ``` # 实际例子 ## 例1：判断三点共线三个点：(1,2), (3,5), (5,8) ```Java |1 2 1| |3 5 1| = 0 |5 8 1| ``` 行列式=0，说明三点共线！ ## 例2：计算面积/体积三角形顶点：(0,0), (3,0), (0,4) ```Java 面积 = 1/2 × |3 0| |0 4| = 1/2 × 12 = 6 ``` # 行列式的性质 ## 1. 交换行，变号 ```Java |a b| |c d| |c d| = - |a b| ``` ## 2. 某行乘以k，结果乘以k ```Java |ka kb| |a b| |c d | = k×|c d| ``` ## 3. 行列式乘法规则 ```Java det(AB) = det(A) × det(B) ``` # 特殊行列式 ## 对角矩阵 ```Java |3 0 0| |0 5 0| = 3×5×7 = 105 |0 0 7| ``` ## 上三角矩阵 ```Java |2 3 4| |0 5 6| = 2×5×7 = 70 |0 0 7| ``` # 直观理解 **行列式告诉你**： - = 0：空间被压扁了（降维） - > 0：保持原方向 - < 0：方向翻转 - |值|：缩放倍数就像拍照： - det = 2：照片放大2倍 - det = 0.5：照片缩小一半 - det = -1：照片左右翻转 - det = 0：照片压成一条线这就是行列式的本质：**衡量线性变换如何改变空间**！