# Summary 1. 两个未知数 - 一个线性方程是一条直线。 - 一个线性方程组就是好几条直线。 - **解方程组，就是在找这些直线的公共交点！** 2. 三个未知数 - 如果是有三个未知数（x, y, z）的方程组呢？那每个方程就代表一个三维空间里的**平面**，解方程组就是在找这些平面的**公共交点**（可能是一个点，也可能是一条线）。 # Cues # Notes 当然！没问题。咱们用最简单的方式来理解什么是“线性方程组”。 你可以把它拆成三个词来看：**线性**、**方程**、**组**。 --- ## 场景：从买水果说起 假设你去水果店，但忘了看单价。你只记得两件事： 1. **第一次**：你买了 **2个苹果** 和 **1个香蕉**，花了 **7元**。 2. **第二次**：你买了 **1个苹果** 和 **2个香蕉**，花了 **8元**。 现在，你想知道一个苹果和一个香蕉各多少钱。这个问题，其实就是一个线性方程组。 --- ## 逐个理解 ### 1. 方程 (Equation) “方程”就是含有未知数（比如 `x` 和 `y`）的等式。 - 如果我们用 `x` 代表苹果的单价，`y` 代表香蕉的单价，上面第一件事就可以写成： `2x + y = 7` - 这就是一个**方程**。 ### 2. 线性 (Linear) “线性”这个词听起来有点专业，但意思很简单：**未知数都是一次方**。 - 在 `2x + y = 7` 中，`x` 和 `y` 的头上都没有平方、立方（$x^2, y^3$），变量之间也没有互相乘（$xy$），更没有开根号（$\sqrt{x}$）之类的复杂运算。 - **为什么叫“线性”？** 因为在二维坐标系里，像 `2x + y = 7` 这样的方程画出来，就是一条**直线**。所以叫“线性”。 <img src="https://i.imgur.com/kGvLgAF.png" alt="一条直线" width="400"/> ### 3. 组 (System) “组”就是把好几个方程放在一起，要求它们**必须同时成立**。 - 我们有两条信息： - `2x + y = 7`（第一次购买） - `x + 2y = 8`（第二次购买） - 把它们用一个大括号括起来，就成了一个**方程组**： $ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ x + 2y = 8 \end{cases} $ ## 目标是什么？ 解线性方程组的目标，就是找到一组 `x` 和 `y` 的值，让这个“组”里的**所有方程都同时正确**。 对于上面的例子，解出来是： - 苹果 `x = 2` 元 - 香蕉 `y = 3` 元 我们来验证一下： - `2(2) + 3 = 4 + 3 = 7`（第一个方程成立！） - `2 + 2(3) = 2 + 6 = 8`（第二个方程也成立！） ## 几何上怎么理解？ 这个最直观！ - 一个线性方程是一条直线。 - 一个线性方程组就是好几条直线。 - **解方程组，就是在找这些直线的公共交点！** 对于我们的例子，`2x + y = 7` 和 `x + 2y = 8` 这两条直线，恰好就交于 `(2, 3)` 这个点。 如果是有三个未知数（x, y, z）的方程组呢？那每个方程就代表一个三维空间里的**平面**，解方程组就是在找这些平面的**公共交点**（可能是一个点，也可能是一条线）。 ## 总结一下 说白了，**线性方程组**就是： > **把几个“未知数只有一次方”的方程合在一起，找出能同时满足所有这些方程的未知数的值。** 它在科学、工程、经济学等领域无处不在，是解决很多复杂问题的基础工具。