# Summary **简单说：秩告诉你矩阵包含多少"独立信息"**。 # Cues # Notes 我来用具体的例子解释**矩阵的秩**。 ## 先看最简单的例子 ### 例子1：秩 = 2 的矩阵 ```Java A = [1 2] [3 4] ``` - 第1行：[1, 2] - 第2行：[3, 4] - 这两行**不成比例**，指向不同方向 - **秩 = 2**（满秩） ### 例子2：秩 = 1 的矩阵 ```Java B = [1 2] [2 4] ``` - 第1行：[1, 2] - 第2行：[2, 4]= 2 ×[1, 2] - 第2行是第1行的2倍！ - **秩 = 1**（降秩） ## 图形理解 把矩阵的每一行看作一个向量： **秩 = 2 的情况：** ```Java ↗ [3,4] / / /______→ [1,2] ``` 两个向量指向不同方向，能张成整个平面 **秩 = 1 的情况：** ```Java → [2,4] → [1,2] ``` 两个向量在同一条直线上，只能张成一条线 ## 三维空间的例子 ### 秩 = 3（满秩） ```Java C = [1 0 0] [0 1 0] [0 0 1] ``` 三个向量分别指向x、y、z轴，能张成整个3D空间 ### 秩 = 2（降秩） ```Java D = [1 0 0] [0 1 0] [1 1 0] ``` 三个向量都在xy平面上，只能张成一个平面 ### 秩 = 1（严重降秩） ```Java E = [1 2 3] [2 4 6] [3 6 9] ``` 所有行都成比例，只能张成一条线 ## 直观理解秩 **秩 = 矩阵能够"张成"的空间维度** - 秩 = 0：所有都是零，啥也张不成 - 秩 = 1：只能张成一条线 - 秩 = 2：能张成一个平面 - 秩 = 3：能张成整个3D空间 ## 实际意义 ### 线性方程组 ```Java x + 2y = 5 2x + 4y = 10 ``` 系数矩阵的秩 = 1，两个方程本质上是一个（第二个是第一个的2倍），有无穷多解 ### 数据压缩 如果数据矩阵的秩很低，说明数据有冗余，可以压缩： ```Java 原始数据：1000×1000 的矩阵 如果秩 = 50 可以压缩成：1000×50 和 50×1000 两个小矩阵 ```