# Summary
二次型是：
1. **最简单的非线性**：只包含二次项
2. **局部近似**：任何光滑函数在某点附近都可以用二次型近似
3. **可以对角化**：通过坐标变换可以消除交叉项
**本质**：二次型描述了空间中的"弯曲程度"和"相互作用"——是理解非线性世界的第一步！
# Notes
属于[[非线性变换]]，可以粗浅理解为矩阵的平方
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二次型是一个关于多个变量的二次齐次多项式。让我用一个 2×2 的小矩阵来具体说明：
我来解释**二次型**的本质。
## 什么是二次型？
二次型其实是**最简单的非线性函数**——所有项都是二次的。
### 具体形式
**一维**：f(x) = ax²
**二维**：f(x,y) = ax² + bxy + cy²
**矩阵形式**：
```Java
f(x,y) = [x y] [a b/2] [x]
[b/2 c] [y]
```
## 几何意义
### 例子1：圆形
```Java
f(x,y) = x² + y² = 1
矩阵：A = [1 0]
[0 1]
```
这是个圆！
### 例子2：椭圆
```Java
f(x,y) = 4x² + y² = 1
矩阵：A = [4 0]
[0 1]
```
这是个椭圆（x方向压缩）
### 例子3：双曲线
```Java
f(x,y) = x² - y² = 1
矩阵：A = [1 0]
[0 -1]
```
这是个双曲线（马鞍形）
## 本质理解
二次型的本质是**描述"弯曲"的最简单方式**：
1. **线性函数**：f(x,y) = ax + by（平面）
2. **二次型**：f(x,y) = ax² + bxy + cy²（弯曲面）
就像：
- 一阶导数描述"速度"
- 二阶导数描述"加速度/弯曲"
## 为什么重要？
### 1. 优化问题
找函数的最小值：
```Java
f(x) = x'Ax + b'x + c
在最小值点：梯度 = 0
二阶导数（Hessian矩阵）= 2A
```
### 2. 物理能量
**动能**：E = ½mv² = ½x'Mx（M是质量矩阵）
**势能**：V = ½kx² = ½x'Kx（K是刚度矩阵）
### 3. 统计学
**方差**：Var(X) = E[(X-μ)²]
**协方差矩阵**：多元正态分布的形状
## 判断二次型的性质
通过特征值判断：
### 正定（所有特征值 > 0）
```Java
A = [2 1]
[1 2]
特征值：3, 1
```
图形：碗状（有最小值）
### 负定（所有特征值 < 0）
```Java
A = [-2 0]
[0 -3]
特征值：-2, -3
```
图形：倒碗状（有最大值）
### 不定（有正有负）
```Java
A = [1 0]
[0 -1]
特征值：1, -1
```
图形：马鞍形
## 实际例子
### 机器学习：损失函数
```Java
Loss = (y - Wx)' (y - Wx)
= 误差的平方和
```
### 经济学：效用函数
```Java
U(x,y) = -ax² - by² + cxy
消费x和y的边际效用递减
```
### 工程：结构稳定性
```Java
能量 = ½x'Kx - F'x
K是刚度矩阵，F是外力
```
## 线性 vs 非线性
**线性**：f(x+y) = f(x) + f(y) **二次型**：f(x+y) ≠ f(x) + f(y)
例如：
```Java
f(x) = x²
f(2) = 4
f(3) = 9
f(2+3) = 25 ≠ 4+9
```
## 核心洞察
二次型是：
1. **最简单的非线性**：只包含二次项
2. **局部近似**：任何光滑函数在某点附近都可以用二次型近似
3. **可以对角化**：通过坐标变换可以消除交叉项
**本质**：二次型描述了空间中的"弯曲程度"和"相互作用"——是理解非线性世界的第一步！
## 基本概念
设有矩阵 A 和向量 x：
```Java
A = [2 1] x = [x₁]
[1 3] [x₂]
```
二次型就是：**f(x) = xᵀAx**
## 具体计算过程
### 步骤 1：计算 Ax
```Java
Ax = [2 1] [x₁] = [2x₁ + x₂]
[1 3] [x₂] [x₁ + 3x₂]
```
### 步骤 2：计算 xᵀ(Ax)
```Java
xᵀAx = [x₁ x₂] [2x₁ + x₂]
[x₁ + 3x₂]
= x₁(2x₁ + x₂) + x₂(x₁ + 3x₂)
= 2x₁² + x₁x₂ + x₁x₂ + 3x₂²
= 2x₁² + 2x₁x₂ + 3x₂²
```
## 实际例子
假设 x₁ = 1, x₂ = 2：
```Java
f(1,2) = 2(1)² + 2(1)(2) + 3(2)²
= 2 + 4 + 12
= 18
```
## 几何意义
这个二次型表示一个椭圆抛物面。如果我们画出 f(x₁,x₂) = c（常数）的等高线，会得到椭圆。
## 矩阵性质与二次型
### 1. 正定矩阵（所有特征值 > 0）
我们的矩阵 A 的特征值约为 3.618 和 1.382（都是正数），所以：
- 二次型 f(x) > 0（对所有非零 x）
- 几何上是一个"碗状"曲面，有唯一最小值点在原点
### 2. 如果换个矩阵
```Java
B = [1 2] → f(x) = x₁² + 4x₁x₂ + x₂²
[2 1] = (x₁ + 2x₂)²
```
这是半正定的（特征值为 3 和 -1），曲面是个"马鞍形"。
## 实际应用
1. **机器学习**：损失函数常是二次型，如最小二乘法
2. **物理学**：能量函数，如弹簧系统的势能
3. **优化问题**：判断函数的凸性，找最优解
二次型的核心就是：**把多个变量的二次关系用矩阵简洁地表示出来**。