> _所以，如果偏导数是告诉你"向东走多陡"和"向北走多陡"，那么梯度就是直接告诉你"要快速上山，就往这个方向走"。这就是为什么梯度在优化算法中如此重要。
梯度描述的是多元函数的某点处，沿某方向斜率最大时的向量
我来帮你处理这段话中的 LaTeX 公式：
# 一元函数的梯度（导数）
对于一元函数 f(x)，其梯度就是导数：
$ \nabla f(x) = f'(x) = \frac{d}{dx}f(x) $
# 二元函数的梯度
对于二元函数 f(x,y)，其梯度是一个向量，包含了两个偏导数：
$ \nabla f(x,y) = \begin{bmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x} \\
\frac{\partial f}{\partial y}
\end{bmatrix} $
或者写成行向量形式：
$ \nabla f(x,y) = \begin{bmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y}
\end{bmatrix} $
其中：
- $ \frac{\partial f}{\partial x} $ 是 f 对 x 的偏导数（固定 y）
- $ \frac{\partial f}{\partial y} $ 是 f 对 y 的偏导数（固定 x）
例如，对于函数 f(x,y) = x² + xy + y²，其梯度为：
$ \nabla f(x,y) = \begin{bmatrix}
2x + y \\
x + 2y
\end{bmatrix} $
梯度就是把所有方向的偏导数"打包"在一起的向量：
1. 梯度的定义：
- 梯度是一个向量，包含了所有变量的偏导数
- 对于二元函数 f(x,y)，梯度是 ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)
- 箭头的方向指向函数值增加最快的方向
- 箭头的长度表示这个最大增长率的大小
1. 形象理解：
- 想象你站在山坡上（点P）
- 梯度就像一个指南针，指出：
- 哪个方向爬最陡（方向）
- 有多陡（大小）
1. 梯度的重要特性：
- 梯度垂直于等高线（图中白色虚线）
- 指向函数值增加最快的方向
- 大小表示在这个方向上的变化率
- 在极值点处梯度为零（山顶或山谷）
1. 实际应用：
- 机器学习中的梯度下降：
- 想象一个盲人在山上找最低点
- 感受当前位置最陡的方向（计算梯度）
- 向相反方向走一小步（更新参数）
- 重复这个过程直到找到山谷（最小值）
## [[梯度爆炸]]