# Summary
# Cues
# Notes
标题: 如何看待高中生提出一元十次方程求根公式？
伽罗瓦理论成功破解了方程可解性的奥秘，清楚地阐述了为何高于四次的方程没有根式解，而四次及四次以下的方程有根式解。
他甚至借此完成了一次纵向穿越，解决了古代三大作图问题中的两个，即「不能三等分任意角[1]」和「倍立方不可能[2]」。
今日，就让我们重新回到群论诞生的源头，那个困扰诸多数学家们数百年的历史难题：一般的五次方程是否有通用的根式求解？
这本质上涉及的是数学史上最古老也最自然的一个问题：
## 求一元多次方程的根
早在古巴比伦时期，人们就会解二次方程。任何二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，现在我们会熟稔地运用其求根公式
x=
进行求解。而
## 三次方程和四次方程的求解
三次方程和四次方程的求解直到 16世纪中期才被解决，中间跨越了三千多年的悠悠岁月，最后在塔尔塔利亚、卡尔达诺、费拉里等数学大师的明争暗斗下，三次方程求解公式——卡尔达诺公式诞生。四次方程的求解则比人们预想的要快得多，费拉里十分机智地学会了师傅卡尔达诺的三次方程根式解法后，巧用降阶法获得四次方程的根式解法。对此，数学家们野心膨胀，开始相信所有的一元多次方程都能找到相应的求解公式。
然而，就当所有人都认为五次方程的解法会接踵而至时，在之后的两百多年间却一直成果寥寥，诸多高手为它前赴后继，最终却徒劳无功。
## 五次方程求解
最先为五次方程求解提供新思路的是数学界的「独眼巨人」欧拉，他把任何一个全系数的五次方程转化为x5+ax+b=0的形式。出于对这一优美表达的倾心，欧拉自以为是地认为可以找出五次方程的通解公式，最终却一无所获。
与此同时，数学天才拉格朗日也在为寻找五次方程的通解公式而废寝忘食。借鉴费拉里将四次方程降阶为三次方程的历史经验，他如法炮制。遗憾的是，同样的变换却将五次方程升阶为了六次方程。
自此，数学家的脚步被五次方程这一关卡死死拦住，寻找一元多次方程通解公式的进展一度陷入迷局。而有关多次方程的争论，当时主要集中在了如下两大问题上。
（1）对 N 次方程，至少都有一个解吗？
（2）N 次方程如果有解，那么它会有多少个解呢？
数学王子高斯出马了，他挥动如椽巨笔，一扫数学家们前进的障碍。1799 年，他证明了每个 N 次方程都有且只有 N个解。于是，他推论出五次方程必然有五个解，但是这些解都可以通过公式表达出来吗？
拨开迷雾之后，这个难题仍然浮现在人们眼前，五次方程究竟是否有通解公式的疑问依旧困扰着人类，挥之不去。
[[群论]]：现代代数学的来临
为什么数学家对五次方程如此迷恋？因为在五次方程的求解过程中，数学家们第一次凿开了隐藏在冰山下的现代科学，数学开始逐步进入到精妙的群论领域。
群论开辟了一块全新的战场，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一个崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。
群论的出现，同样奠定了 20 世纪的物理基础。从此，统治人类近 200 年的牛顿机械宇宙观开始迈入随机和不确定性的量子世界和广袤无垠的时空相对论。
一场空前伟大的科学革命如疾风骤雨般降临，甚至延续至今。杨振宁的规范场论建立了当代粒子物理的标准模型，它的基础就是群论中的李群和李代数，专门描述物理上的对称性。
如今的物理和数学显然已经无法想象没有群论的日子，算术和拓扑的交融是现代数学中一个极其神秘的现象，伽罗瓦群则在其中扮演着重要的角色。
认真观察伽罗瓦群与拓扑中的基本群，会发现两者十分相似。为了更深入地理解拓扑本质，20 世纪数学界顶级天才格罗滕迪克提出了今天仍然神秘的 Motive 理论，而伽罗瓦的理论在这里可以看作零维的特殊情况。
另一种不同角度的观点则认为，伽罗瓦群（基本群）完全决定了一类特殊的几何对象，这是格罗滕迪克提出的 anabelian 理论。值得一提的是，近年来因宣称证明了 abc 猜想而引起热议的望月新一，他的理论研究也属于这一方向。
而在代数数论中，伽罗瓦群是最核心的对象，它与「表示论」的融合则是另一个现代数学的宏伟建筑——朗兰兹纲领的梦想，其与上面提到的 Motive 理论也是有机结合在一起的，它们共同构成了我们称之为算术几何领域中壮阔的纲领蓝图。
但这仅仅是伽罗瓦理论的现代演化的一部分，不过也是最激动人心的一部分。
一波三折蒙尘的天才
历经几百年的折腾，19 世纪初的数学帝国显然已经被五次方程摧残得心灰意冷，才会一连「打压」两个当时最为璀璨的少年天才。一个是年方 26 岁的挪威青年阿贝尔，另一个是只有 21 岁的法国才俊伽罗瓦。
1824 年，阿贝尔发表了《一元五次方程没有代数一般解》的论文，首次完整地给出了一般的五次方程用根式不可解的证明，这是人类第一次真正触碰到五次方程求解的真谛。面对这个来自北欧的无名小子，数学家们纷纷摇头，根本不相信这个难题能就此被解答。柯西收到论文后，将此弃之一旁，随意地丢进了办公桌的某个抽屉里；高斯则在轻轻扫了一眼后，只留下一句「这又是哪种怪物」的评论。
尽管这位稀有的天才最终沉疴缠身，因病去世，他的论文却成功揭示了高次方程与低次方程的不同，证明了五次代数方程通用的求根公式是不存在的。
阿贝尔的这一证明使数学从此挣脱了方程求解和根式通解的思想束缚，颠覆性地提出，一个通过方程系数的加减乘除和开方来统一表达的根式，并不能用来求解一般的五次方程。
可如何区分、判定哪些方程的解可以用简单的代数公式（系数根式）来表达，哪些方程又不能呢？这一问题，阿贝尔并没有给出完美的答案。
直到伽罗瓦横空出世，高次方程的求解才真正坠落凡尘。
有人说伽罗瓦是人类历史上最具才华的数学大师，是天才中的天才，是被神所嫉妒的人，