我来制作一个清晰的数学学科体系表格：
# 数学学科体系
| 一级学科 | 二级学科 | 三级分支 | 主要研究内容 | 典型应用 |
| -------- | ------------------- | ----------------- | -------------------------------------- | ------------------- |
| **纯粹数学** | **代数学** | [[线性代数]] | 向量空间、矩阵、线性变换 | 计算机图形学、数据分析 |
| | | [[抽象代数]] | 群、环、域、模 | 密码学、编码理论 |
| | | 交换代数 | 交换环、理想、模 | 代数几何基础 |
| | | 李代数 | 李群、李代数表示论 | 理论物理、对称性 |
| | | 同调代数 | 范畴、函子、同调 | 代数拓扑、代数几何 |
| | **分析学** | 数学分析 | [[极限]]、[[微积分]]、级数 | 物理、工程基础 |
| | | 实分析 | 测度论、勒贝格积分 | 概率论基础 |
| | | 复分析 | [[复数]]、解析函数、留数定理 | 信号处理、流体力学 |
| | | [[泛函分析]] | 巴拿赫空间、[[希尔伯特空间]] | 量子力学、偏微分方程 |
| | | 调和分析 | [[傅里叶分析]]、[[小波分析]] | 信号处理、图像压缩 |
| | **几何学** | [[欧氏几何]] | 平面几何、立体几何 | 建筑设计、工程制图 |
| | | [[解析几何]] | 坐标几何、向量方法 | 计算机辅助设计 |
| | | 微分几何 | 曲线论、曲面论、流形 | 广义相对论、计算机视觉 |
| | | 代数几何 | 代数簇、概形 | 数论、密码学 |
| | | [[黎曼几何]] | 黎曼流形、曲率 | 广义相对论 |
| | [[拓扑学]] | 点集拓扑 | 开集、连续性、紧致性 | 分析学基础 |
| | | 代数拓扑 | 基本群、同调论 | 数据分析、机器人学 |
| | | 微分拓扑 | 光滑流形、微分形式 | 理论物理 |
| | [[数论]] | [[初等数论]] | 整除性、同余、[[素数]] | [[RSA]]加密 |
| | | 代数数论 | 代数整数、类域论 | 现代密码学 |
| | | 解析数论 | 素数分布、L函数 | 密码分析 |
| | [[离散数学]] | 组合数学 | 计数、排列组合 | 算法设计 |
| | | [[图论]] | 图、网络、算法 | 社交网络、路由算法 |
| | | 数理逻辑 | 命题逻辑、谓词逻辑 | 人工智能、程序验证 |
| **应用数学** | [概率与统计@](概率与统计@.md) | [概率论@](概率论@.md) | 随机变量、概率分布 | 风险评估 |
| | | [数理统计@](数理统计@.md) | 参数估计、假设检验 | 数据科学 |
| | | 随机过程 | 马尔可夫链、布朗运动 | 金融工程、排队论 |
| | | 统计学习 | 机器学习理论 | 人工智能 |
| | **计算数学** | [[数值分析]] | 数值逼近、误差分析 | 科学计算 |
| | | 数值线性代数 | 矩阵计算、特征值算法 | 大规模计算 |
| | | 计算几何 | 算法几何、网格生成 | CAD、游戏开发 |
| | [[运筹学]] | [[线性规划]] | 单纯形法、对偶理论 | 资源分配 |
| | | 非线性优化 | 梯度法、牛顿法 | [机器学习ML](机器学习ML.md) |
| | | 凸优化 | 凸函数、凸集 | 信号处理 |
| | | 组合优化 | [[图算法]]、整数规划、[旅行商问题 TSP](旅行商问题%20TSP.md) | 物流、调度 |
| | | [博弈论](博弈论.md) | | |
| | **应用分析** | 常[[微分方程]] | 解的存在性、稳定性 | 动力系统 |
| | | 偏微分方程 | 波动方程、热方程 | 物理、工程 |
| | | 变分法 | 泛函极值、最优控制 | 物理、经济 |
| | **交叉应用** | 金融数学 | [[期权]]定价、风险管理 | 量化金融 |
| | | 生物数学 | [[种群动力学]]、传染病模型 | 生态学、流行病学 |
| | | [[信息论]] | 编码、[[信息熵]] | 通信、数据压缩 |
| | | 密码学 | 公钥密码、数字签名 | 网络安全 |
# 学科间的主要联系
| 交叉领域 | 涉及学科 | 主要内容 |
| ---- | --------- | ------------ |
| 代数几何 | 代数学 + 几何学 | 用代数方法研究几何对象 |
| 微分几何 | 分析学 + 几何学 | 用微积分研究几何 |
| 代数拓扑 | 代数学 + 拓扑学 | 用代数方法研究拓扑性质 |
| 几何分析 | 几何学 + 分析学 | 用PDE方法研究几何问题 |
| 算术几何 | 数论 + 代数几何 | 研究丢番图方程 |
| 分析数论 | 数论 + 分析学 | 用分析方法研究数论问题 |
[极限](极限)
[微积分](微积分.md)
[空间几何](空间几何)
[场论](场论.md)
[微分方程](微分方程.md)
[无穷级数](无穷级数)
| 层级 | 主分类 | 概念 |
|:----------- |:------------------- |:------------------------ |
| **0 基石层** | **0.1 逻辑与推理框架** | 命题逻辑 |
| | | 谓词逻辑 |
| | | 模态逻辑 |
| | | 非经典逻辑 |
| | **0.2 集合论与模型论** | 公理集合论 (ZFC 等) |
| | | 大型基数 |
| | | 内模型 |
| | | 强不可判定性 |
| | **0.3 计算理论** | 可计算性 |
| | | 递归理论 |
| | | λ‑演算 |
| | | 计算复杂度 |
| | **0.4 证明论与形式化** | 自指与不完备 |
| | | 序数分析 |
| | | 自动定理证明 |
| | **0.5 范畴论与高阶结构** | 极限与函子 |
| | | 高阶范畴 |
| | | ∞‑范畴 |
| | | 同伦论方法 |
| | **0.6 数学史与哲学** | 形式主义 |
| | | 直觉主义 |
| | | 结构主义 |
| **1 纯粹数学层** | **1.1 代数学** | [[2 第二大脑/1 概念/形式科学、数学科学/数学/线性代数]] |
| | | 群 |
| | | 环 |
| | | 域 |
| | | 模 |
| | | 表示论 |
| | | 交换代数 |
| | | 非交换代数 |
| | | 李代数与李群 |
| | | 同调代数 |
| | | 范畴代数 |
| | | 环几何（谱理论）|
| | **1.2 数论** | 初等数论 |
| | | 代数数论 |
| | | 解析数论 |
| | | 几何数论 |
| | | 代数几何数论（阿贝尔簇、模形式、椭圆曲线）|
| | | 算术几何 |
| | | 朗兰兹纲领 |
| | **1.3 分析学** | 实变与复变 |
| | | [[微积分]] |
| | | 度量与测度 |
| | | 泛函分析 |
| | | 调和分析 |
| | | 小波分析 |
| | | 微分方程 (ODE/PDE) |
| | | 非线性分析 |
| | | 几何分析 |
| | | 随机分析 |
| | **1.4 几何与拓扑** | [[欧式几何]]与非欧几何 |
| | | 微分几何 |
| | | 黎曼几何 |
| | | 拓扑学：一般拓扑、代数拓扑、同伦论 |
| | | 辛几何 |
| | | 复几何 |
| | | 代数几何 |
| | | 低维拓扑 |
| | **1.5 组合学与[[离散数学]]** | 枚举组合 |
| | | [[图论]] |
| | | 极值组合 |
| | | 设计与编码 |
| | | 随机与概率组合 |
| | | 代数组合 |
| | | 组合拓扑 |
| | **1.6 动力系统与遍历理论** | 分岔、混沌 |
| | | 可积系统 |
| | | 辛动力学 |
| | | 遍历性 |
| | | 测度保守系统 |
| | | 取样理论 |
| **2 应用数学层** | **2.1 微分方程与数值分析** | 高阶 ODE/PDE |
| | | 谱方法 |
| | | 有限元/差分 |
| | | 随机微分方程 |
| | | 计算流体力学 (CFD) |
| | **2.2 优化与运筹** | [[博弈论]] |
| | | 凸优化 |
| | | 非凸优化 |
| | | 整数/组合优化 |
| | | 变分法 |
| | | 控制论 |
| | | 最优控制 |
| | | 鲁棒控制 |
| | **2.3 概率论与统计学** | [概率论@](概率论@.md) 概率空间与极限定理 |
| | | 随机过程 |
| | | [[数理统计]] |
| | | 贝叶斯推断 |
| | | 高维统计 |
| | | 随机矩阵 |
| | | 随机图 |
| | | 随机几何 |
| | **2.4 计算数学与算法** | 计算代数 |
| | | 符号运算 |
| | | 精度分析 |
| | | 并行算法 |
| | | 量子算法 |
| | | 随机化算法 |
| | **2.5 数理物理** | 经典场论 |
| | | 量子场论 |
| | | 弦与 M‑理论 |
| | | 可积模型 |
| | | 统计物理 |
| | | 几何与拓扑方法 |
| | **2.6 信号、信息与编码** | 信息论 |
| | | 误差更正码 |
| | | 压缩感知 |
| | | 时频分析 |
| | | 滤波 |
| | | 通信数学 |
| **3 交叉‑前沿层** | **3.1 数据科学与机器学习理论** | 高维几何 |
| | | 随机优化 |
| | | 泛函视角下的深度学习 |
| | | 图学习 |
| | | 生成模型 |
| | | 可解释性 |
| | **3.2 金融、保险与风险数学** | 期权定价 |
| | | 随机控制 |
| | | 信用风险 |
| | | 精算模型 |
| | **3.3 生物与医学数学** | 人群动力学 |
| | | 系统生物学 |
| | | 蛋白质折叠模型 |
| | **3.4 计算机科学理论与密码学** | 复杂度与算法 |
| | | 同态加密 |
| | | 零知识证明 |
| | | 量子信息 |
| | | 后量子密码 |
| | **3.5 网络科学与复杂系统** | 网络拓扑 |
| | | 社交网络 |
| | | 流行病传播 |
| | | 复杂适应系统 |
| | | 多主体博弈 |
| | **3.6 拓扑数据分析 (TDA)** | 持久同调 |
| | | 形状识别 |
| | | 高维数据几何 |
| | **3.7 量子计算与量子拓扑** | 拓扑量子场论 |
| | | 量子误差校正 |
| | **3.8 其他跨学科方向** | 人工智能安全与形式验证 |
| | | 法律与机制设计 |
| | | 地球系统科学建模 |
| | | 音乐与艺术中的数学 |
# 如何阅读与使用这棵树
1. **先定坐标**：明确自己要解决的问题归属于哪一大层。
2. **自上而下/自下而上**：
- 基础与纯粹研究者常自下而上，追根溯源；
- 工程与交叉场景多自上而下，快速定位实用工具。
3. **节点间的“捷径”**：
- 代数几何与数论、拓扑与量子物理、概率与统计学习等存在天然通道。
4. **动态更新**：
- 朗兰兹纲领、∞‑范畴、AI 代数自动化等都是过去几十年才形成的大型分支。
- 随着量子技术、深度学习的发展，“交叉‑前沿层”仍在迅速成长。
希望这棵概念树能帮助你在庞杂的数学世界中快速定位、建立纵横坐标，并为进一步学习或研究提供清晰的导航路线。
| 主分类 | 子分类 | 内容 |
| :----------------- |:-- |:----------------------------------------------- |
| **0. 基础与逻辑** | 0.1 | 形式逻辑 / 布尔代数（第 8 章）|
| | 0.2 | 集合论 与 可计算性 |
| | 0.3 | 信息论 与 熵（第 1、6、20 章）|
| **1. 代数学** | 1.1 | [[2 第二大脑/1 概念/形式科学、数学科学/数学/线性代数]] 与 矩阵理论（第 14、15 章）|
| | 1.2 | 抽象代数（群 / 环 / 域 等）|
| **2. 数学分析与微积分** | 2.1 | 微分学 (导数、梯度、Jacobian、Hessian) |
| | 2.2 | 积分学 |
| | 2.3 | 实变函数 与 复分析 |
| | 2.4 | [[微分方程]] / 动力系统 |
| **3. 几何 与 拓扑** | 3.1 | 欧几里得几何 / 微分几何 |
| **4. 离散数学** | 4.1 | 组合数学 与 概率数据结构（布隆过滤器、指纹）（第 16、23 章）|
| | 4.2 | 图论 与 网络科学（第 9、10 章）|
| | 4.3 | 自动机 / 形式语言 / 有限状态机（第 12、21 章）|
| | 4.4 | 搜索与信息检索算法（第 11、18 章）|
| **5. 概率 与 统计** | 5.1 | 概率论（大数定律、贝叶斯、熵）（第 6、24 章）|
| | 5.2 | 统计推断 与 EM / [[最大熵]]（第 3、20、27 章）|
| | 5.3 | 随机过程 与 马尔可夫模型（第 5、24、26 章）|
| | 5.4 | [机器学习ML](机器学习ML.md)模型（CRF、[[逻辑回归]] 等）（第 25、28 章）|
| **6. 数值方法 与 优化** | 6.1 | 数值线性代数 / 奇异值分解 |
| | 6.2 | 凸优化 与 非凸优化 ([[梯度下降]] 等) |
| | 6.3 | [[动态规划]] 与 维特比算法（第 12、26 章）|
| **7. 密码学 与 编码理论** | |（第 17 章）|
| **8. 计算数学 与 应用数学** | 8.1 | 信息检索 / 搜索引擎技术（第 8-13 章）|
| | 8.2 | 大规模计算（MapReduce、云计算）（第 29 章）|
| | | |
[《开悟，数学黑客的生活之旅》](《开悟，数学黑客的生活之旅》.md)
[[《数学之美》]]
[高等数学](2%20第二大脑/1%20宇宙概念树/形式科学、数学科学/数学/数学之美/高等数学.md)
[线性代数](2%20第二大脑/1%20概念/形式科学、数学科学/数学/线性代数.md)
[离散数学 1](离散数学%201.md)
# 数学体系概览表格
## 一、数学的历史发展
| 时期 | 主要特征 | 代表成就 |
| ------ | ----------------------- | ---------------------------------------- |
| 早期萌芽 | • 数的概念形成<br>• 基础计数与测量 | • 结绳记数<br>• 刻痕计数<br>• 符号记录 |
| 古代文明 | • 实用数学发展<br>• 区域特色形成 | • 埃及几何测量<br>• 巴比伦方程解法<br>• 中国《九章算术》|
| 古希腊时期 | • 几何理论化<br>• 逻辑证明体系建立 | • 欧几里得《几何原本》<br>• 公理化体系确立<br>• 阿基米德工作 |
| 中古与阿拉伯 | • 知识传承与发展<br>• 新概念引入 | • 代数学发展<br>• "零"概念完善<br>• 印度记数法传播 |
| 近代革命 | • [[解析几何]]建立<br>• 微积分发明 | • 笛卡尔坐标系<br>• 牛顿-莱布尼茨[[微积分]]<br>• 科学革命推动 |
| 现代发展 | • 多元化拓展<br>• 抽象化提升 | • 非欧几何<br>• 集合论<br>• 现代分析体系 |
## 二、主要数学分支
### 1. 基础数学
| 分支 | 研究对象 | 主要内容 | 典型应用 |
| --- | ------ | ------------------------------ | ----------------- |
| 数论 | 整数性质研究 | • 初等数论<br>• 代数数论<br>• 解析数论 | • 密码学<br>• 信息安全 |
| 代数学 | 抽象结构研究 | • 群论<br>• 环论<br>• 域论 | • 密码系统<br>• 量子力学 |
| 几何学 | 空间结构研究 | • [[欧氏几何]]<br>• 非欧几何<br>• 微分几何 | • 相对论<br>• 计算机图形学 |
| 拓扑学 | 连续变换性质 | • 点集拓扑<br>• 代数拓扑<br>• 微分拓扑 | • 数据分析<br>• 量子场论 |
### 2. 分析与应用数学
| 分支 | 核心概念 | 重要理论 | 应用领域 |
| ---- | -------------------------- | ----------------------------------------- | -------------------------- |
| 数学分析 | • 极限<br>• 连续性<br>• [[微积分]] | • 实分析<br>• 复分析<br>• 泛函分析 | • 物理建模<br>• 工程计算<br>• 经济优化 |
| 微分方程 | • 导数关系<br>• 变化规律 | • 常微分方程<br>• 偏[[微分方程]] | • 流体力学<br>• 热传导<br>• 量子力学 |
| 概率统计 | • 随机现象<br>• 数据分析 | • [概率论@](概率论@.md)<br>• [[数理统计]]<br>• 随机过程 | • 金融工程<br>• 机器学习<br>• 生物统计 |
### 3. 现代与交叉数学
| 分支 | 特点 | 主要方向 | 应用场景 |
| ---- | ------ | ------------------------------------- | ----------------- |
| 离散数学 | 研究离散结构 | • [[图论]]<br>• 组合学<br>• 数理逻辑 | • 算法设计<br>• 网络分析 |
| 运筹学 | 决策优化 | • [[线性规划]]<br>• [[动态规划]]<br>• [[博弈论]] | • 资源调度<br>• 策略优化 |
| 计算数学 | 数值方法 | • 数值分析<br>• 科学计算 | • 工程模拟<br>• 数据处理 |
| 数理逻辑 | 推理基础 | • 集合论<br>• 证明论<br>• 模型论 | • 计算机理论<br>• 人工智能 |
## 三、现代数学特征
| 特征 | 表现 | 影响 |
| ---- | ------------------ | ----------------- |
| 抽象化 | • 结构概念化<br>• 公理体系化 | • 统一认知<br>• 深化理解 |
| 交叉融合 | • 学科交叉<br>• 方法互补 | • 新领域涌现<br>• 创新突破 |
| 计算化 | • 数值模拟<br>• 算法实现 | • 扩展应用<br>• 验证理论 |
| 应用导向 | • 问题驱动<br>• 实践检验 | • 服务科技<br>• 促进发展 |