泊松分布是 [二项分布](二项分布.md) 的极限形式 <!-- more --> 用一个 " 栗子 " 讲清楚泊松分布 - 梁唐的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/139114702 是的，泊松分布可以看作是二项分布在某些条件下的极限情况。具体来说，当二项分布的试验次数 (n) 趋向于无穷大，同时成功的概率 (p) 趋向于零，但 (np)（即期望值）保持恒定时，二项分布将趋近于泊松分布。 更详细的解释： 二项分布描述了在 (n) 次独立试验中，成功次数 (k) 的概率，每次试验成功的概率为 (p)。其概率质量函数为： P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} 其中，(\binom{n}{k}) 是组合数，表示从 (n) 次试验中选出 (k) 次成功的方法数。 当 (n) 很大且 (p) 很小时，计算二项分布的概率会变得复杂。在这种情况下，我们可以通过以下步骤将二项分布转化为泊松分布： 1. 设定期望值：令 ( \lambda = np )，并保持 ( \lambda ) 为常数。 2. 调整参数：随着 ( n ) 趋向于无穷大， ( p ) 趋向于零，同时保证 ( \lambda ) 不变。 在这种条件下，二项分布的概率质量函数可以近似为泊松分布的概率质量函数： P(X = k) \approx \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} 这是因为当 (n) 趋向于无穷大且 p 很小时，组合数和幂函数的乘积可以近似为泊松分布的形式。 举例说明： 假设我们有一个事件，平均每分钟发生 5 次（即 \lambda = 5）。如果我们把这 1 分钟分成非常多的子间隔（例如每秒），那么每个子间隔内事件发生的概率就会非常小，但总体的期望值还是 5 次。这种情况下，我们可以用泊松分布来近似描述这个事件在一分钟内发生的次数。 通过上述过程，我们可以理解泊松分布是二项分布在特定条件下的极限情况。这一性质使得泊松分布在描述稀有事件（如电话呼叫、事故发生等）的次数时非常有用。 ## Hashmap 哈希碰撞就是稀有时间