# Summary 场景：库里的真实三分命中率是多少？ 解决：[[点估计]] 看他前10场比赛：投30个三分，进了13个。**估计值** = $13/30$ = **43.3%** 问题：不告诉你这个估计有多准确，不知道误差范围 解决：[[区间估计]]，根据前10场数据，我们有 **95% 的信心**认为库里真实的三分命中率在 **25.6% ~ 61.0%** 之间 观察数据与 $\text{观察数据：} n = 30, \quad X = 13$ [[点估计]]命中率 $\hat{p} = \frac{X}{n} = \frac{13}{30} \approx 0.433$ 标准误 $SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.433 \times 0.567}{30}} \approx 0.090$ 误差范围 $ME = z_{\alpha/2} \times SE = 1.96 \times 0.090 \approx 0.177$ ✅ 95% 置信区间 $CI_{95\%} = \left[\hat{p} - ME, \quad \hat{p} + ME\right]=[0.433 - 0.177, \quad 0.433 + 0.177]$ $CI_{95\%} =[0.256, \quad 0.610]\approx[25.6\%, \quad 61.0\%]$ ## 为什么是 $\alpha/2$ = 1.96？ 因为是**双侧**检验，不确定性分布在**两端**： ```Java α/2 = 2.5% 中间95% α/2 = 2.5% ├─────────────┼───────────────────────────────┼─────────────┤ -∞ -1.96 1.96 +∞ ``` $P(-z_{\alpha/2} \le Z \le z_{\alpha/2}) = 0.95$ 每一侧各留 $\alpha/2=0.025=2.5\%$ 的概率 # Cues # Notes --- ## 5 | 从点到区间：用 **中心极限定理** 给误差上刻度 1. 有点估计 $\hat{\theta}$ 后，计算 **标准误差** $SE$。 * 例如 $\hat{\mu} = \bar{X}$ 时，$SE = s/\sqrt{n}$。 2. 设置信度 95%，取 $z_{0.975}\approx1.96$。 3. 画区间： $ \hat{\theta}\;\pm\;1.96\times SE $ > 直观上：**样本多 ($n\uparrow$) → 误差条变窄 → 估计更“靠谱”。** ---