# Summary
> "The theory of probabilities is at bottom nothing but common sense reduced to calculus; **it enables us to appreciate with exactness that which accurate minds feel with a sort of instinct for which times they are unable to account**."
概率论是上下限都很高的学科。下限可以到掷骰子，上限可以到测度论*，集合论*。。再加上还有哲学的理解分歧，主观/客观，频率/信念。
[[概率论@]]：从总体出发，推导[[随机事件]]或样本可能性：[[演绎推理]]
**[[大数定律 Law of Large Numbers, LLN]] & [[中心极限定理 CLT]]**是概率论到[[数理统计@]]的桥梁
## '概率' 本质上是一个哲学问题
1. 解释一：频率学派：概率是“事件长期相对频率的极限”
2. 解释二：贝叶斯学派：主观概率
Kolmogorov 在 1933 年用集合论公理化了概率，使其成为一个纯数学对象，从此“概率论”只教形式化的 $P$ 函数，不再讨论“概率是什么”这个哲学问题。
$P(A) \ge 0, \quad P(\Omega) = 1, \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
| 项目 | 频率学派（Frequentist）| 贝叶斯学派（Bayesian）|
| ----- | ----------------- | --------------- |
| 概率的含义 | 长期频率极限 | 主观信念强度 |
| 参数 | 固定未知常数 | 随机变量 |
| 数据 | 随机样本 | 已知信息 |
| 推断结果 | 点估计、区间估计、假设检验 | 后验分布 |
| 典型代表 | Neyman, Fisher | Bayes, Laplace |
| 核心思想 | “概率属于数据” | “概率属于信念” |
**大学概率论课本没有提“频率学派”和“贝叶斯学派”的划分——其实是教材在**教学层面有意规避哲学分歧**、专注于数学体系的简化版本。
| 学科 | 学派分歧 | 教材常态 |
| ------- | --------------------- | ------------------ |
| [[经济学]] | [[凯恩斯]] vs [[新古典经济学]] | 只教供需曲线与均衡 |
| 物理学 | 哥本哈根 vs 多世界 | 只教波函数与薛定谔方程 |
| 概率论 | 频率派 vs 贝叶斯派 | 只教 Kolmogorov 公理体系 |
概率论部分只教**数学结构（Kolmogorov 体系），哲学与应用分歧留给**数理统计**或**贝叶斯推断**课程；
# Cues
[最优停止理论](最优停止理论.md)
[《概率论沉思录》](《概率论沉思录》.md)
【转】高等概率论学习心得 - Haas 的文章 - 知乎
https://zhuanlan.zhihu.com/p/258499447
[👨🏻💻王木头学科学](👨🏻💻王木头学科学.md)
# Notes
## 一、知识体系
| 词汇 | 形象解释 |
| --------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ |
| 基本概念 | 概率空间、[[随机事件]]、独立性、[[条件概率]]、[[贝叶斯公式]]定理、概率质量函数、概率密度函数、全概率公式、[[大数定律 Law of Large Numbers, LLN]]、[[中心极限定理 CLT]] |
| 随机变量的数字特征 | [[期望]]、[[方差]]、[[协方差]]、矩生成函数、[[矩]] |
### 1.1 三大核心
| | 词汇 | 形象解释 |
| ---- | ---------- | ------------------------------------------------------------- |
| 单个时刻 | [[随机变量]] | 具体的[[概率分布]]：[[二项分布]]、[[正态分布 高斯分布]]、[[泊松分布]]、[[指数分布]]、[[均匀分布]] |
| 联合分布 | [[多维随机变量]] | 多变量分布的**视角/关系**：[[联合分布]]、[[边缘分布]]、[[条件分布]]、[[相关性]] |
| 时间序列 | [[随机过程]] | |
### 1.2 进阶
概率测度与概率空间
│ └─ σ‑代数、Lebesgue 积分——“严谨版”概率基础
```Java
① 数学
└─ 1. 概率与统计
├─ 1.1 随机过程
│ └─（含马尔科夫过程、布朗运动、泊松过程等）
├─ 1.2 随机变量与分布理论
│ ├─ 单变量分布（离散/连续）
│ └─ 多维随机向量与联合分布
├─ 1.3 数学期望与矩 / 特征函数
│ └─ 用于刻画分布形状、求极限
├─ 1.4 极限定理与大数定律
│ └─ 中心极限定理、鞅收敛、弱/强大数
├─ 1.5 概率测度与概率空间
│ └─ σ‑代数、Lebesgue 积分——“严谨版”概率基础
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