十二平均律（12-TET）的全部规则可以用一句"乘 2、开 12 次方"概括： 1. 跨一个八度 → 频率 $\times 2$： 2. 例如 $A_4 = 440$ Hz，升到 $A_5$ 就是 $440 \times 2 = 880$ Hz。在同一八度里，每前进 1 个半音 → 频率 $\times 2^{1/12}$：这里的 $2^{1/12} \approx 1.059463$，是固定公比。连乘 12 次：$(2^{1/12})^{12} = 2^{(1/12) \cdot 12} = 2$，恰好补满一个八度。 | 12 个半音 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 1 | | ------ | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 古代 | 宫 | | 商 | | 角 | | | 徵 | | 羽 | | | | | 简谱 | 1 | | 2 | | 3 | 4 | | 5 | | 6 | | 7 | 1 | | 唱名 | do | do♯ | re | re♯ | mi | fa | fa♯ | so | so♯ | la | la♯ | ti | do | | 音名 | C | | D | | E | F | | G | | A | | B | C | #comment do-re-mi 只是历史选出来的“音阶口令”，方便记忆与教学；它们的发音和舌位并不决定音高，但元音-辅音组合的确让它们好唱、好连。 ![CleanShot 2025-05-05 at [email protected]|1000](https://imagehosting4picgo.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/imagehosting/fix-dir%2Fmedia%2Fmedia_DsiCIsAZTQ%2F2025%2F05%2F05%2F23-25-44-c40bcff7831863437c95bb1dfcad3ef6-CleanShot%202025-05-05%20at%2023.25.21-2x-56a555.png) 这篇文章背后的思想用通俗易懂的话来说就是： **人类听觉上的美妙和谐，竟然对应着数字上简单、优雅的比例关系。这种音乐、数学、物理之间看似毫无关系，却又神奇统一在一起的现象，揭示了世界背后隐藏着某种神秘的秩序和美感。** 具体来讲： 1. **最开始的问题**： - 为什么钢琴上的一个八度是由7个白键和5个黑键，共计12个键组成？这看起来随意的设置，背后其实隐藏着深刻的道理。 2. **毕达哥拉斯的发现**： - 他发现弦的长度和音高是有规律的： **弦越短 → 频率越高 → 音高越高**。 - 更奇妙的是，他进一步发现： **频率成简单整数比例（如2:1、3:2）的两个音，听起来特别和谐悦耳**。 例如频率为2倍的音其实是同一个音的高版本（我们称作“高八度”）；频率为3:2倍则产生一种非常悦耳的和声效果（现在叫“五度音程”）。 3. **为什么钢琴会有12个音？**： - 如果我们反复以3:2的比例去增加频率（这个过程叫“五度循环”），进行12次之后，惊奇地发现： **最后的第13个音竟然几乎回到了第一个音的高八度，形成了一个完美闭环**。 - 也就是说，从数学和物理角度看，这12个音的设定恰好是一个非常自然的选择，构成了一种优美的结构。 4. **十二平均律的诞生**： - 在现实中，我们为了方便，就把这12个音在数学上等距离地平均划分，这就是如今的十二平均律，每个音之间频率的倍数相同（都是2的十二次方根）。 - 这种平均律简单、易用，虽然稍微有点不精确，但足够好用，成为今天音乐世界的主流选择。 5. **更深层的哲学思想**： - 最奇妙的事情其实不是数字本身，而是数字和现实世界之间的神奇对应关系。音乐这种非常主观的美感，居然可以被数学这样精准又理性的工具很好地描述。 - 正如诺奖得主维格纳所感叹的： **“数学语言如此适合用来描述物理世界，这本身就是一种奇迹，是我们人类无法完全理解、甚至有些不配拥有的礼物。”** 换句话说，这篇文章想表达的真正思想是： **世界之美是隐藏在理性数字背后的秘密，音乐只是让我们窥见这种美的一扇窗。**